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水たまりパンチラの幾何光学

あけましておめでとうございます(遅)
当変態ブログ2010年最初の記事は、科学技術ブログとしての原点に立ち戻り、光学の話題から始めることにしましょう。

中学生マインドをお持ちの皆様の中には、水たまりパンチラに萌える方もいらっしゃることと思います。これはすなわち、水たまりのそばに佇むスカートを穿いた女の子、水面に目をやると、そこには水面に反射したスカートの中身がくっきりと、というようなバカシチュです。空を飛ぶパンツで有名なバカアニメ「そらのおとしもの」でも、該当するシーンがあったと記憶しています(正確にははいてない状態でしたが。。)。今回の記事では、水たまりパンチラの発生条件を、幾何光学を使って考察していきます。

#ずっと昔にあった、階段でぱんちらを拝むための幾何学を丸パクリしたやつです。フレネル方程式に言及してちょっとだけ中学数学以上のことをやるので、ご勘弁願います。



水たまりパンチラの幾何光学

まず最初に、水たまりパンチラが発生する条件について考察していきましょう。
水たまりにぱんつが映るというのは、すなわち、ぱんつから出た光が水面に反射し、観測者の目で捕らえられるということを意味しています。これを説明したのが次の図です。絵心がないのは仕様です。

まず、女の子と観測者が十分近づいている場合の光の経路を、青い線で示します。光はスカートをかわして水たまりで反射され、観測されます。つまり、女の子に十分接近すれば、水たまりぱんちらを拝むことができます。女の子と観測者の距離が遠い場合はどうでしょうか。この場合の光の経路を、赤い線で示してあります。ご覧のように、ぱんつから出た光はスカートに阻まれ、観測者に届くことはありません。女の子からの距離が遠いと、ぱんちらは拝めません。

それでは、パンチラが見える・見えないの境界線はどこにあるでしょうか。それは、ぱんつから出た光が、ギリギリスカートをかすめて観測者に届く場合です。この状態を、便宜的に「臨界パンチラ状態」と呼ぶことにしましょう。臨界パンチラ状態での光の経路を、緑の線で示しました。臨界パンチラ状態についての考察を行いましょう。

pantiraoptics1.png

幾何学的な配置を、次の図で示します。以下の4パラメータを与えられたものとします。地面からぱんつの下端までの距離を、ぱんつ高pと呼びます。同様に、地面からスカートの下端までの距離を、スカート高sと呼びます。また、ぱんつの中心から地面に降ろした垂線と、スカート下端までの距離を、スカート幅wと呼びます。そして、観測者の目の高さを、視点高eと呼ぶことにしましょう。

続いて、求めるべき量にうつります。まずは、女の子と観測者の間の距離Dです。特に今回、臨界パンチラ状態での女の子・観測者間の距離のことを、「臨界パンチラ視認距離」と名付け、D0と呼びましょう。また、このときの光の入射角・反射角を「臨界パンチラ角」と名付け、θ0と呼ぶことにしましょう。

問題設定が整いました。下図のような条件で、p,s,w,eを用いて、D00を書き下します。
pantiraoptics2.png

とは言ったものの、これを解くのは極めて簡単で、中学で習う幾何学の知識があれば一発です。
D0=w(p+e)/(p-s)
tanθ0=w/(p-s)
となります。
適当にそれっぽい数値として、p=70(cm),w=15(cm),s=40(cm),e=160(cm)を代入すると、D0は115cm、θ0は27度程度となります。つまり、女の子と1メートル以上接近すれば、水たまりパンチラを拝める、とそういうわけです。遠くからぱんつを眺めるのは無理そうですが、どうにか接近する手段を手に入れれば、水たまりぱんちらを拝みほうだいです。やりました!次の雨上がりの日は、全国の水たまりという水たまりに変態さんが群がりますね!

……果たして、本当でしょうか。光線の軌道に関する考察は、これでOKです。しかし、ぬか喜びする前に、光が水面で反射するという事実を、もう少しまじめに考える必要があるのです。


無情なる光の物理学-フレネル方程式-

水面に入射した光は、一部が反射すると同時に、一部は水中に透過します。今回の問題設定では、透過した光は地面に吸収されて消えてしまうでしょう。ですので、入射した光のうち、どの程度の量が反射されて、観測者の目に届くのかを知る必要があります。光の反射量が少なければ、いかにステキな位置にスタンバイしていても、パンチラ映像が暗くてよくわからない、ということになってしまうのです。

実は、反射率は入射角に応じて変化することが知られています。反射率を、入射角の関数として記述したものが、フレネル方程式と呼ばれている数式です。リンク先を見るとわかりますが、反射率は、入射角と媒質の屈折率によって決定されます。しかし、フレネル方程式の形はちょっとややこしいので、数式は出さずに、グラフを描いてしまうことにしましょう。パラメータとして、空気の屈折率を1、水の屈折率を1.33としました。

#ぱんつに反射した光は自然光である(偏光していない)と考えられます。日本語版Wikipediaでは、自然光の反射率に関する記述が乏しいので、Wikipedia英語版のフレネル方程式に関するページを参考にしました。

fresnel.png

これを見ると、入射角が90度近い、つまり水面スレスレに入射する光の反射率は高くなっています。一方、入射角が0度、つまり水面に垂直に入ってくる光の反射率は非常に低いことがわかります。0度での反射率は0.02程度です。水面に対して垂直に入射する光はほとんど反射せずに、水中に透過してしまうのです。

それでは、先ほど求めた、臨界パンチラ角での反射率はどうでしょうか。27度に対する反射率は0.021程度、垂直入射の場合とほとんど変わりません。つまり、せっかくパンチラを拝めるポジションをキープしても、水面に映るぱんつは暗くて見えない、ということになりかねないのです。スカートを避けるために女の子に近づけば近づくほど、ぱんつの映像は暗く見えなくなってしまうのです。人間のぱんつに向けた飽くなき探求心も、冷徹無情な物理法則の前では白旗を降らざるを得ないのです。

#まあ、もしかすると、人間の眼がハイスペックにものを言わせてなんとかぱんつを認識してしまうかもしれませんが。

それでは、まとめましょう。
水たまりパンチラを拝むためには、スカートの鉄壁防御をかい潜るために、ある程度女の子に近づく必要があります。女の子との距離は、典型的な値では1メートル程度です。
ところが、女の子に近づくと、ぱんつから出た光は、水面に対して垂直に近い角度で入射します。このとき、光はほとんど反射しません。そのため、せっかくのパンチラが暗くて見えない可能性が高いです。

もしかすると、パンツとスカートの幾何学と、マクスウェル方程式に支配される鉄壁の反射法則の間に、どうにかぱんちらを拝める領域が存在するのかもしれません。しかし、その探求は後進の賢者に譲ることとしましょう。

……などと長々と書いてきましたが、そういえば私はぱんつには全然興味なくてむしろ中身が重要であるということを今思いだしました。まあ、パンチラとかどうでもいいですよね。

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